莫比烏斯六角環是什麼？居家實驗室帶你做一個無限翻轉數學、結構玩具
莫比烏斯六角環是什麼？居家實驗室帶你做一個無限翻轉數學、結構玩具
片中的第一個莫比烏斯六角環是我測試多次、終於做出不需要測量即可完成、而且沒有裂縫的莫比烏斯六角環。影片中的第二個六角環則是有裂縫的版本，玩一玩就會變形。
前陣子因為Arvind Gupta 的 TED 影片又再次在網路上傳播，所以注意到了這個材料容易取得，結合數學、機械、藝術概念的神奇小物。
這是一個很像在現代藝術館可以看到的結構，由六個金字塔型組成，每個金字塔各有兩邊與另兩個金字塔的邊相接，在金字塔與另一金字塔相接的邊完全密合時，金字塔之間的面剛好呈現90度。
這個東西可以往同一個方向翻轉，轉了四次之後又回到同一面，然後再無限次轉下去。發現了嗎？金字塔共有四個面，這東西轉了四次才會回到同一面，代表金字塔的每一個面都出場了。
雖然看似簡單的小玩意，但它其實有更廣泛的運用，至今，科學家想借用它的概念做機器人、合成新的化合物，或是設計建築物的折疊結構。沖繩科學技術大學院大學 （OIST)）2018 年還為此發表論文，也為此結構專開一門課，探討它可以帶來的創新，可見這個東西還算是在線的研究題材呢。
（例如，可以拿來做攪拌麵包的機器？潛水艇推進器？太陽能板的轉動儀？）
這東西的正式英文名稱叫做 「Möbius Kaleidocycle」（由Wallace Walker於1955年發明Kaleidocycle這個字，而Schönke & Fried發明出更多邊的Kaleidocycle，並稱它們為「Möbius Kaleidocycles」），也有不少人叫它「Flexagon」或「flextangle」。目前還查不到正式中文翻譯，有人叫它「旋轉六角形方塊」、「六角變型體」，不過都很容易跟另一種六角型的翻折卡片搞混。
因此綜合它展現的數學工程特性，我覺得叫它「莫比烏斯六角環」（Möbius Kaleidocycles）很合適
（可以這樣私自決定的嗎…期待台灣數學界快點給它一個正式命名 ～～～）。
說到莫比烏斯（Möbius），最有名的就是「莫比烏斯帶」（Möbius Strip）了。莫比烏斯帶是只有一個面和一條邊的環狀紙條，也就是分不出正反面的意思，只要拿一張長狀紙條，頭尾翻轉180度黏起，就完成這個讓數學家與藝術家都驚嘆的莫比烏斯帶，無論從莫比烏斯帶的哪一個點出發，都可以一筆劃就到達任另一點。
經典數學模型莫比烏斯帶的特性就先不贅述，回到今天主角「莫比烏斯六角環」（台灣數學家快來給它正式名稱），它也是一個正反面無法切割，難分正反面的結構。
我依照網路上的影片試做幾次，發現大多的教學影片的版本，要不然就是摺出來在其中一面會有一條縫（如下圖 ），那條縫在旋轉到一半很容易鬆脫（？），讓整個結構都變形；而且中間有縫，如果要在上面畫上圖案，圖案也會被縫隙切成兩半。（但這個做法最容易，請參考Arvind Gupta的做法。）（另一種可用三張方形色紙組合成的作法參考這裡，其實也蠻美！）
要不然就是要從網路上列印出模板，才能做出天衣無縫的「莫比烏斯六角環」，這個作法也很容易！可是家裡沒有列印機啊～～我也試過另一個測量的網路教學影片（例如這邊量幾公分、那邊量幾公分，再畫出摺的線條），不過可能是手殘畫不準，所以一直失敗。
最後，我測試了五、六次，終於找出「成品沒有縫隙」、「不用測量」、「不用列印模板」的製作方法。只要用一張長方形紙張，就可以用摺紙的方式，做出天衣無縫的莫比斯斯六角環！
就在這裡跟大家分享這個作法。
材料
很簡單！
1、長方形紙
2、筆、彩色筆
3、剪刀、美工刀
4、尺
5、膠水
作法
1、先將長條紙的長邊折成四等份。
2、因為我們需要四個方型，加上方形下方有個方形四分之一寬度的長條狀，所以先折出第一個方型的小對角線，並做一個記號（箭頭處）。
3、這個步驟比較複雜，但也是關鍵！
請原諒我拙劣的圖示……簡單說就是除了四個正方形（藍框處），底下要留一條寬度是藍色正方形的四分之一的長條型，剩下的部分去除（最底下黑色圈圈處）。綠色菱形線條可先用筆畫出來，成為下一個步驟的基礎。
4、以步驟3的綠色線條為基礎，畫出以上所有的線條，這就是之後的折痕。這時可發現，莫比烏斯六角環就是由一個一個的菱形組成。
5、切割下八等份的最右邊，也就是切掉八分之一。
6、標記出這張照片的斜線處，這些將要剪掉、不用。
7、剪掉斜線處後變這樣。
8、將每條畫出的線折出摺痕，可以用直尺協助壓出摺痕，會比較好摺喔。
9、本圖中得標色之處，是之後要塗澆水的地方
10、除了要塗膠水的地方（淺藍色、灰色），其他地方可以畫上喜歡的圖案，同一層、同一高度的菱形可以畫上相同的圖案，共可設計四種圖案。這裡是用水的循環：雲、雪/雨、水、水蒸氣來設計。
11、依照摺痕將向內折起來形成一個環，並仔細的將塗膠水處接合。
12、最後再將前後組合起來，記得灰色處、也就是塗膠水處要藏在裡面。
13、完成！！
這個經典的莫比烏斯六角環有個特性，就是它各邊接合的時候，面與面之間是90度（如下圖）。
但是，沖繩科學技術大學院大學發表的論文（Michael Grunwald, Johannes Schönke, and Eliot Fried，2018）也有寫到，莫比烏斯環還可以做出七角形、八角形甚至到十五角形！只是八邊形的莫比烏斯環就有兩種不同的固定角度（如下圖），造成轉動結構不穩定。
科學家正在思考，是否有辦法做出來不同邊形的莫比烏斯環，卻讓角度仍然保持穩定……透過電腦模擬計算，總算找到正確角度，做出多邊的莫比烏斯環，並讓旋轉的角度固定，不會像蛇一樣扭來扭去。
總之，有興趣的人可以讀讀這篇論文，就可發現這個莫比烏斯六角環，認真研究也可做出一番文章呢。
Credit@ 居家實驗室
